呪煙は空間処理音楽です
まず、3次元空間上の回転を定式化する
3次元空間上の回転を表すためには、回転軸ベクトル p と回転角度 θが必要になります。 回転軸ベクトルの絶対値は意味を持たないので、 | p | = 1 であるものとしてます。
座標ベクトル u で表される点 A を、回転軸 p を中心に角度 θ 回転した点 A' の座標ベクトル u' は、以下のような計算で求めることができます。
u' = sinθ u × p + cosθ ( u − ( u ⋅ p ) p ) + ( u ⋅ p )p
= sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
ちなみに、この式の導出の仕方ですが、下図のようになります。
図1: 3次元ベクトルの回転
原点を O、点 A から回転軸におろした垂線の足を H とすると、
OH = ( u ⋅ p ) p
HA = u − ( u ⋅ p ) p
となります。 また u × p は、 p および HA に垂直で、 絶対値が | HA | と等しいベクトルになります。 HA' は、
HA' = cosθ HA + sinθ u×p
= sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
と表すことができるので、先ほど示した式を導き出すことができます。
行列を使った3次元空間上の回転
前節で示した式で3次元空間中の回転が表現できるんですが、 実際には、この式をそのまま使うのではなく、行列演算に変形してから使います。 (行列にすることで、拡大縮小や平行移動などと一緒に、まとめて扱えるため。）
3次元ベクトルの外積計算は以下のように、
p × u = u [0 −pz py
pz 0 −px
−py px 0
]
行列とベクトルの積としても書き表わせます。 （ただし、ベクトルは横ベクトルを仮定しています。）
また、 ( u ⋅ p ) p という部分も、
( u ⋅ p ) p = u [px2 px py pz px
px py py2 py pz
pz px py pz pz2
]
と表せます。
これらを使うと、 先ほどの回転の式は、以下のような行列で表すことができます。
u' = sinθ u × p + cosθ u + ( 1 − cosθ ) ( u ⋅ p ) p
= cosθ u + ( 1 − cosθ ) u [px2 px py pz px
px py py2 py pz
pz px py pz pz2
] + sinθ u [0 −pz py
pz 0 −px
−py px 0
]
= u [( 1 − cosθ ) px2 + cosθ ( 1 − cosθ ) px py − pz sinθ ( 1 − cosθ ) pz px + py sinθ
( 1 − cosθ ) px py + pz sinθ ( 1 − cosθ ) py2 + cosθ ( 1 − cosθ ) py pz − px sinθ
( 1 − cosθ ) pz px − py sinθ ( 1 − cosθ ) py pz + px sinθ ( 1 − cosθ ) pz2 + cosθ
]
四元数から回転行列を計算
ここで話を四元数に戻します。
四元数は、 回転軸 p = ( px , py , pz ) と回転角 θ の情報を、以下の形式で保持するものです。
( cos θ
2
; sin θ
2
p ) = ( cos θ
2
, sin θ
2
px , sin θ
2
py , sin θ
2
pz )
ここで、sin や cos を何度も書きたくないので、 以下のように書き表わすことにします。
q = ( qw , qx , qy , qz , ) = ( cos θ
2
, sin θ
2
px , sin θ
2
py , sin θ
2
pz )
ここで、三角関数の倍角の公式を使うと、以下の等式が導かれます。 （* と † の位置には、x, y, z のいずれかが入ります。）
2 q* q † = 2 sin2 θ
2
p* p † = ( 1 − cosθ ) p* p †
2 qw q* = 2 sin θ
2
cos θ
2
p* = sinθ p*
2 qw2 = 2 cos2 θ
2
= 1 + cosθ
これらを、前節で求めた行列に代入すると、 以下の結果が得られます。
u' = u [2 ( qx2 + qw2 ) − 1 2 ( qx qy − qz qw ) 2 ( qx qz + qy qw )
2 ( qx qy + qz qw ) 2 ( qy2 + qw2 ) − 1 2 ( qy qz − qx qw )
2 ( qx qy − qy qw ) 2 ( qy qz + qx qw ) 2 ( qz2 + qw2 ) − 1
]
あるいは、 | q | = 1 なことを利用して、以下のようにも書けます。
u' = u [1 − 2 ( qy2 + qz2 ) 2 ( qx qy − qz qw ) 2 ( qx qz + qy qw )
2 ( qx qy + qz qw ) 1 − 2 ( qz2 + qx2 ) 2 ( qy qz − qx qw )
2 ( qx qy − qy qw ) 2 ( qy qz + qx qw ) 1 − 2 ( qx2 + qy2 )
]
ちなみに、こうやって作られた行列は、必ず直交行列になります。 （実際、計算してみてもらうと、各列が正規直行していることがわかります。） 回転しかしていないんだから、長さも角度も変わらない変換（＝ 直交行列による1次変換）になっていないとおかしいはずです。
この世の中はおかしいはずです